常微分方程积分因子法的求解毕业论文

摘    要
微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。
人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然。
所以我们必须能够求出它的解。
同时，对于恰当微分方程我们有一个通用的求解公式。但是，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方程都是恰当微分方程。
对于这类不是恰当微分方程的一阶常微分方程该如何求出它的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。

关键词：微分方程；积分因子；恰当微分方程；一阶微分；
Abstract
Differential expression of natural law is a natural mathematical language. It from the production practice and science and technology generation, but modern science and technology in analyzing and solving problems in a powerful tool..
Some people in the law to explore the process of the material world, the general experimental observation is difficult to completely rely on recognizing that the law, but there is a link in accordance with certain laws are often easy to catch us, and such laws expressed in mathematical language, which often results in the formation of a differential equation, and once obtained equation, the law is clear
So we must be able to find its solution.
Meanwhile, for the appropriate differential equation we have a general formula to solve. However, as we all know, not all forms of first-order differential equations are appropriate differential equation.
For these are not appropriate differential equation differential equation, how it obtained its solution, which we are discussing here need to use the integrating factor

Keywords:
Differential equation; integral factor; appropriate differential equation; first-order differential
目    录
第1章  绪论………………………………………………………………1
1.1  常微分方程………………………………………………………………………1
1.2  恰当微分方程……………………………………………………………………1
第2章  积分因子的存在性………………………………………………2
2.1  各种形式积分因子存在的充要条件……………………………………………2
2.2  几种常见类型的微分方程的积分因子…………………………………………5
第3章  积分因子求法的推广……………………………………………7
3.1  满足条件 的积分因子求法………………………………7
3.2  方程 积分因子…………………………………………………………………………………………9
3.3  方程 积分因子……………………………11
3.4  方程 积分因子…………12
参考文献……………………………………………………………………15
致谢…………………………………………………………………………16
第1章   绪论
1.1  常微分方程
数学发展的历史告诉我们,300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源。人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具。它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的。
常微分方程的发展史大致可分为五个阶段：第一阶段是十七世纪前半期, 即它的萌芽阶段。第二阶段是十七世纪后半期到十八世纪末, 即常微分方程发展成为一个数学分支的阶段。这个阶段主要是讨论各种具体类型方程的积分法, 把解表示为初等函数或初等函数的积分形式。这个阶段可化为积分的方程的基本类型巳被研究明白, 如果精确解找不到就求近似解。第三阶段是十九世纪上半期。
这个阶段数学分析的新概念（如极限、无穷小、连续函数、微分、积分等）和新方法，大大影响了微分方程理论的发展。这是建立常徽分方程基础的阶段。第四阶段是19世纪80年代至20世纪20年代，是常微分方程定性理论蓬勃发展的阶段。第五阶段是20世纪30年代直至现在, 是常微分方程全面发展的阶段。
1.2  恰当微分方程
恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。如果能将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程，则求其通解将变得简单。为此本文寻求微分方程各类积分因子,化微分方程为恰当方程求解，这样给解题带来很大的方便。
第2章   积分因子的存在性
2.1  各种形式积分因子存在的充要条件
定义 对于一阶微分方程  如果存在连续可微的函数 ，使得 为一恰当微分方程，即存在函数U，使得 ，则称 为方程的积分因子。
引理 函数 为方程 的积分因子的充要条件是 。
积分因子的形式各异，以致积分因子存在的充要条件将形式各异。下面给出不同形式的积分因子存在的充要条件。
结论1 方程 有只与 有关的积分因子的充要条件是 ，且积分因子为 。
结论2 方程 有只与 有关的积分因子的充要条件是 ，且积分因子为 。
结论3 方程 有形如 的积分因子的充要条件是 ，且积分因子为 。
证明 令 ，则 ，假设 为方程 的积分因子，则由引理有充要条件 ，所以 ，所以， ，当且仅当， 时可以解出 ，故方程 有形如 的积分因子的充要条件是 。
结论4 　方程 有形如 的积分因子的充要条件是 ,且积分因子 。证明类似结论3的证明。
结论5 　方程 有形如 的积分因子的充要条件是 ,且积分因子 。
证明　 ，则 ，假设 为方程 的积分因子，则有充要条件 ，所以 ，所以， ，当且仅当 时,可以解出 ,故方程 有形如 的积分因子的充要条件是 ,且积分因子 。
结论6 　方程 有形如 的积分因子的充要条件是 ，且有积分因子 。
证明　令 ，则 ，假设 是方程 的积分因子，则由引理有充要条件： ，所以， ，从而， 时，可以解出 ，得方程  有形如 的积分因子的充要条件是 ，即可得积分因子 。
结论7 　方程 有形如 的积分因子的充要条件是 ，且积分因子 。证明类似结论3 的证明。
结论8 　方程 有形如 的积分因子的充要条件是 ，且积分因子 。
证明　令 ，则有 ，假设 是方程 的积分因子，则由引理有充要条件： ，所以， ，所以， ，当且仅当 时可以解出 。故方程 有形如 的积分因子的充要条件是 ，且积分因子 。
结论9 　方程 有形如 的积分因子的充要条件是 ，且积分因子 。
证明　令  ，则 ，假设 是方程 的积分因子，则由引理有充要条件 ，所以， ， ，当且仅当 时可以解出 ,故方程 有形如 的积分因子的充要条件是 ，且积分因子 。
2.2  几种常见类型的微分方程的积分因子
根据以上结论易得出下列常见的微分方程积分因子结果。
命题1  可分离变量方程 ， 有积分因子 。
命题2  齐次方程 有积分因子 。
命题3  齐次方程 ，当 时有积分因子 。
命题4  Bernoulli方程 ， 有积分因子 。
第3章  积分因子求法的推广
微分方程积分因子求法的推广主要写了几类特定微分方程的积分因子的求法，极大的提高了我们计算积分因子的速度，对我们的学习有很大帮助。
3.1  满足条件 的积分因子求法
定理1  假设 中 ， 存在以下关系：
 
其中 是 的连续函数，则该方程的积分因子是：
  ．
证明 ： 
 
  
 即：    
 
若要使得 是积分因子，必须满足：
 
则            
即          
即要满足：       ．                                                               
若满足以上定理可得到如下定理：
定理2  如果 是方程 的积分因子，则 也是该方程的积分因子
证明 ：∵   
   
因为 ， 分别是 ， 的连续函数，则由连续函数的局部性质知 ， 也分别是 ， 的连续函数．
又因为                           
                     =0
所以   是全微分方程．
所以   也是该方程的积分因子．
例3  求 的积分因子．
解 ：     
 
可以由上面的定理得到方程的积分因子：
 ．
例 4  求 的积分因子．
解 ：    
可以取   从而使该方程能够满足定理1所需条件
则有：
 
所以方程的积分因子是：
 ．
同理，由定理2知：  也是该方程的积分因子．
3.2  方程 积分因子
定理3  齐次方程为：
 
则该方程有积分因子： ．
证明： 令  
则知        

若有：
  
也即是有：
 
例 5 求解齐次方程
 的积分因子．
解：由定理3得方程的积分因子是：
                 

3.3  方程 积分因子
定理4  齐次方程：
 
则该方程有积分因子：
 ．
证明：  令   
则知             
因为         
所以有       
                  
 
 
若有   
则有：

所以        ．
例 6  求解齐次方程
         
的积分因子．
解：  方程满足定理3方程的形式，因此，方程的积分因子为：
                       ．

3.4  方程 积分因子
定理5  若齐次方程的形式为：
  
则方程的积分因子是：
                     ．
证明：  令   
则知         
因为         
 
 
所以有      
                   
 
 
若有         
即有：
 
所以      
 
所以  方程的积分因子是：
 ．
例7  求齐次方程 的积分因子．
解：方程满足定理5条件，则知方程的积分因子是：
                    ．
本章对积分因子的求解方法进行了推广，总结出几类特定方程积分因子的固定求法，以便加深对微分方程积分因子的认识和了解，熟悉一阶微分方程求解方法。
参考文献:
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New York: Dover, 1989
[11] Morris Tenebaum， Harry Pollard. Ordinary differential equations [M]. Dover Publications, 1963, (01)
致谢
本课题在选题及研究过程中得到数学与计算科学学院徐俊峰老师的悉心指导，使我得以最终完成毕业论文设计，在此先向尊敬的老师表示衷心的感谢。谢谢老师对毕业设计的完成与说明书的撰写工作给予的关怀和指导。
感谢数学与计算科学学院各位老师在大学四年里对本人的栽培，感谢在大学四年里帮助过本人的各位老师，感谢他们一直来对本人的支持与鼓励。
特别谢谢我的一群同学和朋友们，一起生活和工作学习的美好时间里，你们给予我的真挚的鼓励和无私的帮助是毕生难忘的。
感谢父母和亲人多年来在生活上无微不至的照顾和精力上的支撑，我能长这么大，能够有机会读书，真的不知道对你们的付出说些什么，谁言寸草心，报得三春辉。千言万语化作一句感恩的话：辛苦了！
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